Теория Справочник Практикум Контроль знаний Об авторах  



Модуль № 5

5.1 ОБРАБОТКА НЕСКОЛЬКИХ РЯДОВ ИЗМЕРЕНИЙ

 Если многократные наблюдения проводятся в течение длительного периода времени, то может произойти изменение математического ожидания и дисперсии.

Группы наблюдений называют равнорассеянными или равноточными, если они были проведены на одном и том же оборудовании, одними и теме же наблюдателями, в одних и тех же условиях. В противном случае наблюдения могут оказаться неравноточными. Степень доверия тем или иным результатам может быть различной. При этом группам результатов могут приписывать определенный «вес», характеризующий степень доверия им. Веса могут устанавливаться субъективно или объективно, например расчетным путем.

Для оценки равноточности измерений используют критерий, определяемый с использованием распределения Фишера. Суть его заключается в том, что если отношение дисперсий двух групп наблюдений превысит значение, определяемое по таблице Фишера при известных числах степеней свободы (k1 = n1 – 1 и k2 = n2-1) и

при заданной доверительной вероятности (), то такие наблюдения считаются неравноточными.     Поэтому для нахождения средневзвешенного истинного значения () и его СКО () используют весовые коэффициенты (), устанавливаемые для конкретных групп наблюдений субъективно или расчетным путем.

,         ,   .                                                                   (5.1)
   - средневзвешенное значение результата измерений,
   - средневзвешенное значение СКО.
Окончательно для истинного значения можно записать:

,     .                                                                              (5.2)

При условии, что отношение дисперсий меньше критерия Фишера (F), т.е. измерения можно считать равноточными, то истинное значение и СКО находятся исходя из того, что все результаты наблюдений принадлежат единой генеральной совокупности.

При этом необходимо отметить, что:

 - суммарная дисперсия,                                                                    (5.3)

где   - дисперсия в группах,
        - дисперсия между группами.

  Эти вопросы рассматриваются в статистике в разделе, называемом дисперсионным анализом.

 

5.2  МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОДНОФАКТОРНЫХ И МНОГОФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

 

Требования, предъявляемые к математическим моделям:

  • удобство математического выражения (полином);
  • содержательность, т.е. предание определенного смысла константам и функциям, входящим в математическую модель.

Методы выбора математической модели объекта измерения (вида функциональной зависимости процесса измерительного преобразования).

Быстрые методы установления графического вида для однофакторных зависимостей.

 

 

Если дисперсия исходных данных не велика, то статистический метод обработки данных не используют, а на графике проводят плавную кривую через полученные точки.

      

 

 

  Если дисперсия значительна, то нужно применять статистические методы, например, метод контура. Устанавливаются плавные границы полосы рассеивания экспериментальных точек, внутри которой проводят осевую линию, которая является искомой     функцией. При этом исключают промахи и выбросы.


При очень большом рассеивании результатов экспериментальных данных форма контура имеет случайные очертания. В этом случае ограничиваются установлением лишь уровня и наклона искомой зависимости, полагая ее прямой линией, проходящей через центр полосы точек.

При очень большой диффузности экспериментальных данных, когда использование метода контура не  применимо, используют метод медианных центров. При этом общее поле точек экспериментальных данных разбивается на несколько интервалов, внутри их находятся медианные центры, являются точками пересечения линий, разделяющих области с одинаковым числом точек внутри интервала и затем через медианные центры проводят плавную кривую.

 

При наличии корреляции между x и y, проводят определение значения коэффициента корреляции, следующим образом:

       Рисунок 5.1

  ,                                                                                                                      (5.4)

где b1 и b2 –тангенсы угла наклона кривых, полученных при вертикальном и горизонтальном разделении массива данных на интервалы:

 

 y1=a1+b1x                                                (5.5)
 y2=a2+b2x.
                                                                                        

 

 

Рисунок 5.2

 

y1,y2 – зависимости, полученные с помощью медианных центров относительно осей x и y по отдельности (разбиваем вертикальными и горизонтальными линиями на интервалы).

При rxy = 0  - нет корреляции, а при rxy = 1  - сильная корреляция.

 Погрешность адекватности математической модели реальному физическому объекту или процессу можно установить, сравнивая теоретическую и экспериментально полученную зависимости, использую понятие меры расхождения по критериям Пирсона, Колмогорову.

Для этого производится подбор аппроксимирующей функции для массива экспериментальных данных.

После установления графического вида искомой функциональной зависимости, подбирается алгебраическая функция (полином), соответствующая данному графику.

Наибольшее применение находят три класса элементарных математических функций.

1.      Степенная функция.

,
,

,

,

,        c = n,      m=lnx.

2) Показательная функция.

,

.


 

3)Дробно - рациональная функция.

.

 

Нахождение параметров аппроксимирующей зависимости (регрессионный анализ).

Если подбор аппроксимирующей функции является неформальным процессом и не может быть полностью передан ЭВМ, то расчет параметров функции выбранного вида – операция чисто формальная. В общем случае этот расчет состоит в решении системы нелинейных уравнений. Используя, например, метод наименьших квадратов (МНК), методом статистической обработки результатов эксперимента определяют значения параметров зависимости вида:   Y = a + bx.

 Суть метода заключается в том, чтобы найти усредненную зависимость, обеспечивающую наименьшую сумму квадратов отклонений полученных результатов          относительно искомой функции.

        
         Рисунок 5.3

 



                                                            (5.6)

                                            

       Для исключения абсурдных решений, полученных методом наименьших квадратов вследствие наличия промахов и других причин неустойчивости, при обработке результатов на ЭВМ нужно чистить массив данных от явных промахов. Для этой цели предварительно используют графические методы. В последние годы интенсивно разрабатываются «робастные» методы, которые позволяют путем последовательных итераций (приближений) исключать мешающие результаты. Дальнейшим развитием МНК являются самоадаптируемые робастные методы обработки данных. В основе их лежит использование единого математического описания всего разнообразия функциональных зависимостей. При этом производятся итерационные вычисления, перебирающие варианты вычислением эксцессов и контрэксцессов модели. После нескольких прогонов программы получается некоторое стабильное значение параметров функций.

    Измерения отдельно взятых физических величин в практике встречается довольно редко, т.к. представление функции измерительного преобразования в виде является идеализацией реальной зависимости. Обработка результатов и оценка погрешности при многофакторных экспериментах (т.е. когда ) являются существенно более трудоемкими процессами, но более правильными. Они могут быть основаны или на одновременном варьировании всех переменных, или на использовании декомпозиции модели, т.е. стабилизации одних параметров при изменении других поочередно. Использованием композиционных  технологий можно получать геометрическое представление таких функций в двух-, трехмерном пространстве.

 

Теория | Справочник | Практикум | Контроль знаний | Об авторах |