Теория Справочник Практикум Контроль знаний Об авторах  



Модуль № 3

3.1 ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ИСТИННОГО ЗНАЧЕНИЯ ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ

 

  Задача определения результата измерения является частным случаем нахождения оценок параметров ЗРСВ на основании выборки, т.е. ряда значений в n опытах.

Оценку параметра называют точечной, если она выражается одним числом, но она является также случайной величиной.

Точечная оценка истинного значения записывается в виде: â.

Требования, предъявляемые к точечной оценке:

Оценка является достоверной, если выполняются следующие требования:

Если она является состоятельной, т.е. при увеличении числа наблюдений приближается к значению оцениваемого параметра.

Если она является несмещенной, т.е. математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

Если она является эффективной, т. е.  если дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра (для НЗРСВ это соответствует условию оценки по методу наименьших квадратов).

Существует несколько методов определения точечной оценки, наиболее распространенным является метод максимального правдоподобия (ММП):

      Вся информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений х1, х2, …. х n. Будем считать, что для всех параметров закон распределения соответствует НЗРСВ, тогда суммарная вероятность для серии наблюдений равна произведению вероятностей.

                                                                                                         (3.1)

При некоторых значениях параметров  произведение вероятностей будет максимальным, что определит значение точечной оценки измеряемой величины.

Логарифм функции правдоподобия равен:

                                                                              (3.2)

Согласно теореме Байеса, приравняв к нулю производные данной функции по соответствующим переменным, можно получить точечные оценки для значения результата измерений и его СКО:

-   можно найти   ,

 -   можно найти   .                                                           (3.3)

 

                                                       (3.4)

(для произведения вероятностей)

Рисунок 3.1

Решая систему уравнений, можно получить следующие важные соотношения:                                                                                          (3.5)

- первый начальный момент;

                                                                                   (3.6)                                                                               

- второй центральный момент.

  Если взять вторую производную от логарифма плотности вероятности, то получим оценку для области неопределенностей   и его  СКО ()

,      ,                                                                                 (3.7)

где   - СКО среднего арифметического;

        - СКО для СКО.

Относительная погрешность определения СКО велика и составляет при 50 измерениях 10%, а для среднего арифметического 7%.

Таким образом, для точечной оценки истинного значения измеряемой величины можно записать следующее соотношение:

=(),                                                                                                    (3.8)

 

Рисунок 3.2

 - точечная оценка истинного значения измеряемой величины.

 

3.2  ОЦЕНКА ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ С ПОМОЩЬЮ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

 

   Если необходимо повысить или понизить точность результата, т. е. можно записать

оценку результата измерений с помощью доверительных интервалов:

 =, P = …, n =…,                                                                             (3.9)

где  () - доверительный интервал неопределенности.

   Если доверительный интервал отличается от стандартного, при котором в него попадает приблизительно 2/3 всех полученных результатов измерений, то необходимо определить значение квантили (). При этом нужно дополнительно указывать число выполненных измерений (n) и доверительная вероятность (P):

Рисунок 3.3

 

При n > 30 для нахождения числового значения квантили (t) можно использовать закон распределения Гаусса:

Таблица 3.1

P

0,5

0,68

0,95

0,997

t

0,667

1

2

3

 

Если n < 20, то использовать закон распределения Стьюдента.

 

3.3 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ СКО

 

  СКО является также случайной величиной, т. к. получено в    результате обработки случайных величин, поэтому для его также можно построить соответствующий ЗРСВ.

Для оценки СКО СКО (), т. е. при нахождении интервала неопределенности для СКО используют распределение c2 - (Пирсона).

                                                                                             (3.10)

где   - статистическая дисперсия,

        - теоретическая дисперсия.

При , , а ,                                                (3.11)

                                

Рисунок 3.4

Теоретически меньше, чем число экспериментов.  

                                                                 (3.12)

- аналитическая форма записи для распределения Пирсона.

 k – число степеней свободы,

 

 - вероятность того, что:                 

  .                                                                              (3.13)

  При увеличении числа опытов распределение становятся симметричным. 

Значение (a) соответствует вероятности попадания или нахождение СКО в интервале, определенном значениями ccmin  при условии, что вероятность непопадания в заданный интервал соответствует уровню значимости (q). Значения c2 табулированы для различных значений доверительной вероятности (Р) и числа степеней свободы (к = - 1).

Для удобства вычислений вероятности попадания СКО в заданный интервал для обеих сторон  графика распределения Пирсона принимают равными вероятность непопадания в заданный интервал равными q/2.

При известных интервалах неопределенности СКО можно определить по таблице c2 - Пирсона доверительную вероятность нахождения СКО в заданном интервале или решить обратную задачу, т. е. по заданной вероятности определить интервал неопределенности для СКО.

Таким образом, для оценки доверительного интервала неопределенности СКО используется распределение c2-Пирсона, а для точечной оценки интервала неопределенности СКО формула:

,    

  где .                                                                                      (3.14)

 

3.4  ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕДЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

 

Нужно подобрать функцию, наилучшим образом соответствующую опытным данным. С этой целью сравнивают экспериментально полученный ЗРСВ в виде гистограммы или полигона с соответствующим теоретическим ЗРСВ, например, нормальным.

Для этого рекомендуется следующий порядок действий: 

Построить гистограмму.

Перейти от абсолютных величин к относительным ().

Произвести разбиение теоретического графика на определенное число интервалов, соответствующее числу интервалов на гистограмме.

Определить для данных интервалов значения вероятностей теоретических и экспериментальных.

Найти суммарную меру расхождения между теоретическим и экспериментальным законами распределения случайных величин.

По полученной мере расхождения для числа степеней свободы (k = r – 3, где r –интервалов гистограммы) по таблице распределения cПостроение гистограмм:

При разбиении массива полученных данных на интервалы, необходимо учитывать, что в каждый интервал должно попадать не менее 5 наблюдений.

Таблица 3.2

n

r

40-100

100-500

500-100

7¸9

8¸12

10¸16

Длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми, но можно выбирать и с разным шагом: малые интервалы  при большой концентрации результатов и большие - при их малой концентрации.

Масштаб гистограммы по осям рекомендуется выбирать из условия отношения высоты к основанию в пределах 5/8.

  После построения гистограммы строят плавную кривую (полигон) и сравнивают ее с нормальным законом. Можно подставить полученные значения в формулу Гаусса и сравнить полученный разброс значений с теоретическим графиком. При визуальном сравнении если графики приблизительно совпадают, то можно считать, что закон близок, например, к нормальному. По требованию заказчика вычисляют значение доверительной  вероятности соответствия экспериментально полученного закона распределения теоретическому или ожидаемому (метод проверки статистической гипотезы).

 при = const,                                                            (3.15)

 ,                                                                          (3.16)

где     -  весовой коэффициент ();

           -  суммарная мера расхождения,

-экспериментальная вероятность

-теоретическая вероятность

                                                                    (3.17)                        

- сколько результатов должно было попасть в интервал;

- сколько результатов попало в данный интервал.

   При полученной доверительной вероятности превышающей уровень значимости 5-10% можно считать, что закон соответствует нормальному.

Для упрощенного сравнения законов могут использоваться другие способы, например, критерий согласия Колмогорова - Смирнова (l    -   критерий согласия                                       (3.18)
            Рисунок 3.5

Таблица 3.3

l

0

0,5

0,7

0,8

0,9

1,2

1,4

P

1

0,964

0,711

0,544

0,393

0,112

0,04

 

Для данного, при известном числе экспериментов n ,по табличным данным находим доверительную вероятность соответствия математической модели реальному объекту измерений.

Данный метод уступает по точности методу -Пирсона, но гораздо проще в применении.

 

3.5  ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

  Грубыми погрешностями или промахами называются погрешности значительно выходящие (превышающие) из общего массива данных.

  При НЗРСВ часто используется правило 3, суть которого заключается в том, что погрешности, превышающие значение СКО в 3 раза, считаются грубыми (промахами) и исключаются из расчета, после этого пересчитывают СКО.

При необходимости оценки грубости погрешности с помощью доверительной вероятности (α) используют табличные данные для нормализованных величин:

                                                                                                   (3.19)

Таблица 3.4

n

0,9

0,93

0,99

3

 

5

7

1,412

 

1,869

1,414

 

1,917

1,414

 

1,972

 

На практике параметры распределения определяют математической обработкой ограниченного числа результатов наблюдений, называемой выборкой, например, результаты измерений в одной точке шкалы.

Множество результатов наблюдений, из которого производится выборка, называется генеральной совокупностью результатов наблюдений.

 

3.6  ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСКЛЮЧЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

Статистическая обработка результатов многократных наблюдений не позволяет обнаружить систематическую составляющую погрешности (если она неизменна во времени), но для определения СКО (дисперсии) можно использовать неисправленные результаты измерений.

,                                                                                       (3.20)

где   - поправка,

         - систематическая погрешность.

Необходимо учитывать максимально возможное число дестабилизирующих факторов, влияющие на результат измерений, путем введения соответствующих поправок, т.е., измеряя значения влияющей величины по известным формулам и графикам, вычисляют значения поправок. При этом нужно учитывать, что влияющие величины измеряются также с погрешностями, но это приводит к возрастанию суммарной случайной составляющей погрешности и увеличению результирующего СКО. Поэтому необходимо ввести ограничение, обеспечивающее повышение точности измерений в результате введения поправок, т.е. чтобы положительный эффект за счет снижения систематической составляющей полной погрешности не был скомпенсирован увеличением неопределенности за счет возрастания случайной составляющей погрешности.

При известных знаках систематических погрешностей суммарная поправка соответствует средней систематической погрешности измерений:

                                                                                   (3.21)

где - неисправленный результат;

       - исправленный результат;

        () - систематическая погрешность;

         -поправка.

Систематическая погрешность может быть установлена, например, при проведении поверок СИ. Разность между средним арифметическим и показанием эталонного средства измерения есть систематическая погрешность. Для обнаружения  можно также производить замену блоков в устройствах, условия проведения эксперимента и т.п. Значения поправок могут приводиться в виде таблиц, графиков, формул. Они могут быть аддитивными и мультипликативными.

Число поправок может быть большим, а степень их достоверности ограничена, что в тоге приведет к увеличению  дисперсии результата измерений:

,       

 - результат измерений после введения поправки,

,                                                                                           (3.22)

   - дисперсии результатов измерений  и поправок.

Поэтому нужно определить разумную границу значений поправок учитываемых значений поправок.
  ,     ,      ,                         (3.23)               

                      Рисунок 3.6

Известно, что если (х) мало, то  , поэтому:

,     ,    ,     (3.24)

Таким образом, можно сделать вывод о том, что поправку целесообразно учитывать, если она больше половины её доверительной погрешности.

Если дисперсия поправок незначительная, то нужно учитывать максимально возможное число поправок.

 

Теория | Справочник | Практикум | Контроль знаний | Об авторах |