Теория Справочник Практикум Контроль знаний Об авторах  



Лабораторная работа № 1

Статистические параметры закона распределения случайных величин

 

Цель работы: Анализ эмпирического закона распределения случайных величин.

Краткие теоретические сведения.

Для построения эмпирических кривых распределения необхо­димо разбить весь полученный диапазон Xmax - Xmin  на r ин­тервалов. Число интервалов при небольших выборках следует брать  округленным .

Длину интервалов удобнее выбирать одинаковой. Однако если распределение имеет резкие скачки в соседних интервалах, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы.

Ширину интервала следует выбирать удобной для графических работ по отношению к делениям по оси X. Нижнюю границу первого интервала не следует брать равной Xmin, если она не соответствует удобному значению на оси X.

При обработке результатов предпочтительнее (с целью умень­шения ошибок при вычислениях) пользоваться отклонениями раз­меров, а не самими размерами. Особенно большие ошибки возни­кают при вычислении моментов второго и высших порядков.

Число результатов измерений mi , попавших в заданный i интервал по условию

называют частотой.

В неравенстве  Xi результат j-го наблюдения выборки, в которой j = 1,..., n; xiВ верхняя граница i-го интервала; xiН нижняя граница i-го интервала, равная верхней границе ( i - 1)-го интервала.

Результаты подсчета частот т, представить в таб. 1 где указаны границы отклонений размеров Xi от номинального раз­мера, частоты mi, средние зна­чения интервала xi и частости P*i .

Cумма частот  должна быть равна числу n-количеству измерений, т. е.

Таблица 1

Номера инт-ов

Границы

инт-ов

Частота

mi

Частость

P*i

Середина инт-ов

xi

Xн

XВ

 

 

 

 

 

 

 

Отношение частоты mi к общему числу наблюдений n назы­вают частостью и обозначают Р*i;

                                                                                                                                         (1)

Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений Xi в i-й интервал. Очевидно что

Для наглядности эмпирическое распределение можно предста­вить графически в виде полигона или гистограммы распределения, а также ступенчатой функции распределения.

 

Гистограмму строят так: над каждым интервалом (Dx) по оси аб­сцисс строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна частости P*i в этом интервале, а высота будет пропорциональна частоте при одинаковых интервалах. При различных значениях Dx высота прямоугольника будет пропорциональна эмпирической плотности вероятностей:

Полигон строят следующим образом: на оси абсцисс отклады­вают интервалы значений измеряемой величины (Dx), в серединах ин­тервалов отмечают ординаты, пропорциональные частотам или частостям (P*i), и ординаты соединяют прямыми линиями. При выборе масштабов по осям абсцисс и ординат выдерживают соотношение                

 

Ступенчатую функцию распределения строят следующим обра­зом: в середине каждого интервала по оси абсцисс ордината воз­растает скачком на значение, соответствующее P*i, и оттуда про­водят горизонтальную прямую до середины следующего интервала, где она снова возрастает. Высота ординаты в каждой точке соответ­ствует эмпирической интегральной функции распределения

Значение F*i для каждого интервала называют комулятивной ча­стостью, а сумму — комулятивной частотой.

С помощью гистограммы распределения можно рассчитать па­раметры распределения, пользуясь следующими формулами: для среднего арифметического:

                                                        (2)

для оценки дисперсии:

                                  (3)

дисперсия характеризует степень рассеивания результатов  измерений относительно истинного значения,

для оценки центрального момента третьего порядка

                                                 (4)

для оценки центрального момента четвертого порядка

                                                 (5)

Коэффициент асимметрии определяется по формуле:

                                                      (6)

kас характеризует наклон переднего и заднего   фронтов ЗРСВ.

 

 

 

Коэффициент эксцесса определяем по формуле:

                                                                             (7)

Эксцесс характеризует растянутость вершины, для НЗРСВ его значение равно нулю.

 

НЗРСВ (согласно центральной предельной теореме теории вероятности) характерен для случайных процессов, причиной такого характера рассеяния результатов является влияние множества независимых случайных слабовыраженных факторов.

Значения коэффициентов kас и kэкс близких к нулю дают основание для ут­верждения, что эмпирическое распределение мало отличается от нормального.

 

 

1.      Задание 1: Произвести анализ характера изменения ЗРСВ при изменении его параметров с использованием примера, приведенного в St_lab1. Изменяя  параметры закона распределения проследить за изменениями гистограммы.

 

2.      Задание 2: Построить эмпирические распределения величин, определить начальные и центральные моменты распределений. Сравнить полученные результаты со значениями, полученными в среде Mathcad в примере St_lab1.

 

Расчётную часть рекомендуется выполнить в среде Microsoft Excel в следующем порядке:

1.      Ввести не менее 50 чисел, которые можно сгенерировать с помощью компьютера, например, с использованием St­_lab1.

2.      Разбить всю область на необходимое число интервала и посчитать число значений mi, попадающих в каждый интервал.

3.      Рассчитать частость для каждого интервала по формуле (1).

4.      Построить гистограмму, где по оси x откладываются границы интервалов, а по оси у соответствующие частости, а затем построить полигон в тех же осях.

5.      Рассчитать значения остаточных отклонений по формуле DCi = Ci -`C, где Ci – значения измеряемой величины, `C - среднее значение.

6.      Рассчитать дисперсию по формуле (3).

7.      Рассчитать центральный момент третьего порядка по формуле (4).

8.      Рассчитать центральный момент четвёртого порядка по формуле (5).

9.      Рассчитать коэффициент ассиметрии по формуле (6).

10.  Рассчитать  эксцесс по формуле (7).

 

Лабораторная работа №1

-число измерений

-математическое ожидание

- среденее квадратичное отклонение

-генератор случайных чисел

-максимальное значение в выборке

-минимальное значение в выборке

-количество интервалов

Первоначальная обработка (грубая сортировка)

Вычисление среднего значения

Вычисление С К О

-задание доверительного интервала для сортировки

-выборка элементов, попадающих внутрь заданного интервала

-выборка элементов, не попадающих внутрь заданного интервала

-число элементов, попадающих внутрь заданного интервала

-число элементов, попадающих внутрь заданного интервала

-количество интервалов

Анализ сортированных данных

1 Первый начальный момент

2 Первый центральный момент

3 Второй центральный момент

Среднее квадратичное отклонение

4 Третий центральный момент

5 Четвёртый центральный момент

Коэффициент асимметрии

Коэффициент эксцесса

Теория | Справочник | Практикум | Контроль знаний | Об авторах |